答えは正四面体。
正三角形４枚で出来た三角錐です。
元の立方体と、切り取られて残った正四面体を並べてみました。
辺の長さは正四面体の方が長いし、高さもある。
こんな大きそうな立体が立方体の中から切り出されるなんてちょっと意外。
立方体の８つの頂点の内、面で考えて対角線の関係にある４つの頂点を削り取って、残った4つの頂点で、辺の長さが対角線の正四面体が残ると考えるとイメージしやすいのも知れません。
言い換えると、自分と反対面にも人がいて、横から見てる人も二人、その二人とも上下逆さまになってる。とすると、同じように見てる人が四人、それぞれが自分に近い頂点を対角線で落としてしまうというイメージ。
そもそも正四面体の形を見慣れてないというのもありそうです。
ピラミッドの四角錐ならば、イメージしやすいのですけどね。というか、一見ピラミッドに見えちゃうから余計厄介なのです。
角度を変えたらほら、こんな形でもあるのです。
この正四面体をよく観察すれば、球体に次いで研ぎ澄まされた立体であろうと思われます。
それに比べたら、立方体が鈍臭く感じてしまいますね。
話戻しまして、この問題の違和感は、この二つの立体の体積を考えると、より顕著になります。
立方体から切り出して出てきた立体なのですから、立方体よりは小さいだろうというのは当たり前ですが、なんとなく小さく見積もっても半分くらい？というような印象を抱いてしまいます。
何せ、辺は立方体の辺の√2倍ですから。
辺の長さを与えられて、この正四面体の体積を求めよ。なんて問題は、そこそこの難問になると思われます。
でも、この問題の発想で、切り取った三角錐の体積から考えると簡単です。
但し、問題に書いたような正三角錐と考えては難し過ぎます。体積を考える場合は直角三角錐と見ないと求められる気がしません。いや根性あれば出来るのですね。
切り取る三角錐の体積は立方体の1/6
4つ合わせると2/3
って事は、正四面体は立方体の1/3？？
凄い違和感ないですか？
この違和感を埋めるために、私が模型を作り始めたのです。
それを横で見ていた末っ子が、いじくりまわして、不思議な関係を幾つも見つけて、しまいには削り取った方の三角錐8つでカッコいい24面体が出来ることを発見して、それを速水星と名付けて、YouTuberよろしく実況動画を撮影していたのが、この研究の始まり。
小学校の集大成として、この研究をまとめてみなさいよとなった訳です。
あー長かった💦
言葉だけでは、この面白さの半分も伝わらないと思われますが、興味のある方は是非作ってみて下さい。後悔はしないと保証します。
